collapse
Trigonometrija (klikni za pregled sadrzaja):
[close]

Tema: Grafik i osobenosti sinusne trigonometrijske funkcije f(x) = sinx  (Pročitano 9144 puta)

  • [applaud]0
  • [smite]0
  • - Grafik i osobenosti sinusne trigonometrijske funkcije -

    Grafik funkcije f(x) = sinx bice zadat skupom svih tacaka: { (x,sinx) | x \in R}.
    On se predstavlja krivom linijom y = sinx koju zovemo sinusoida.

    Primer (vrednosti za sinx su zakruzene na dve decimale):



    Spajanjem tacaka iz tabele dolazimo do grafika u intervalu [0, \pi/2].

    Ostale tacke dobijamo koristeci se cinjenicama:
     - grafik je simetrican u odnosu na pravu x=\pi/2, jer je sin(\pi/2+x) = sin(\pi/2-x);
     - grafik je simetrican u odnosu na tacku (\pi,0), jer je sin(\pi+x) = -sin(\pi-x);
     - sinusna funkcija je periodicna sa periodom: sin(x+2k\pi) = sinx, za svako k \in Z.



    Ispitivanje sinusne funkcije:

    1.) Definisanost:
    funkcija f(x) = sinx definisana je za svako realno x, sto sleduje iz definicije izraza sinx. Na grafiku to znaci da za svako a \in R prava x = a (paralelna y-osi) sece grafik u jednoj i samo jednoj tacki ( kada bi sekla grafik u vise tacaka to bi znacilo da f(a) = sina ima vise od jedne vrednosti pa f(x) = sinx ne bi ni bila funkcija ).

    2.) Periodicnost:
    Za svako x \in R i svako k \in Z vazice:
    sin(x+2k\pi) = sinx, te je funkcija f(x) = sinx periodicna sa periodom 2\pi.
    To znaci da se grafik funkcije sastoji od identicnih delova koji se ponavljaju na intervalima duzine 2\pi na x-osi. Ili drugacije receno, ako je poznat izgled grafika funkcije na intervalu [0,2\pi], ostale delove grafika mozemo konstruisati translacijom ovog dela ulevo ili udesno.

    3.) Nule funkcije:
    Kako je sinx = 0 ako i samo ako je x = k\pi (k \in Z),
    nule funkcije f(x) = sinx se nalaze u tackama k\pi (k \in Z).
    U ovim tackama grafik funkcije f(x) = sinx sece x-osu.

    4.) Maksimum i minimum funkcije:
    Ako pogledamo datu sinusoidu videcemo da funkcija f(x) = sinx
    dostize svoju maksimalnu vrednost f(x) = 1 u svim tackama x = \pi/2+2k\pi (k \in Z),
    a minimalnu vrednost f(x) = -1 u svim tackama  x = 3\pi/2+2k\pi (k \in Z).

    5.) Ogranicenost:
    Obzirom da se sve vrednosti funkcije sinx nalaze u intervalu:[-1,1],
    tj. -1 \leqslant sinx \leqslant 1, funkcija f(x) = sinx je ogranicena.
    Njen grafik se nalazi izmedju pravih y = -1 i y = 1 paralelnih x-osi.

    6.) Rast i opadanje sinusne funkcije:

    Ako opet pogledamo prethodno datu sinusoidu videcemo da:
    kad x raste od 0 do \pi/2 sinx raste od 0 do 1;
    kada x raste od 3\pi/2 do 2\pi sinx raste od -1 do 0;

    Zakljucujemo:
    kada x raste od -\pi/2+2k\pi do \pi/2+2k\pi (k \in Z), sinx raste od -1 do 1;
    kada x raste od \pi/2+2k\pi do 3\pi/2+2k\pi (k \in Z), sinx opada od 1 do -1.

    7.) Znak funkcije (funkcija je pozitivna/negativna na intervalu):
    sinx > 0 kada je 2k\pi < x < (2k+1)\pi,
    sinx < 0 kada je (2k+1)\pi < x < (2k+2)\pi,  (k \in Z).

    8.) Parnost:
    Funkcija f(x) = sinx je neparna, tj. vazi da je: sin(-x) = -sinx.
    Ovo znaci da je grafik sinusne funkcije simetrican u odnosu na koordinatni pocetak.


       « Poslednja izmena: 19. 09. 2016. | 17:22:16 Matematika »