collapse
Skupovi: N, Z, Q, I i R (klikni za pregled sadrzaja):
[close]

Tema: Kompleksni brojevi (Skup C) i osnovne operacije sa kompleksnim brojevima  (Pročitano 6739 puta)

  • [applaud]0
  • [smite]0
  • Poznato je da je kvadrat svakog realnog broja nenegativan broj.
    Zbog toga, na primer, jednostavna jednacina

    x2 + 1 = 0

    nema resenja u skupu realnih brojeva.

    Ovo je ekvivalentno sa tvrdjenjem
    da ne postoji realan broj koji bi bio kvadratni koren realnog broja - 1.

    Ovaj nedostatak skupa realnih brojeva mozemo otkloniti na taj nacin
    sto cemo prosiriti skup brojeva sa kojima radimo.

    Pri tome cemo voditi racuna o tome da se u novom skupu nadju realni brojevi kao njegov podskup i da se sacuvaju vazna svojstva osnovnih operacija (sabiranja i mnozenja) i relacije jednakosti.

    Definicija: 

    Kompleksni brojevi su izrazi oblika x_{1} + iy_{1}, gde su "x" i "y" realni brojevi, a "i" neki simbol, za koje su definisane relacija jednakosti i operacije sabiranja i mnozenja na sledeci nacin:

    10Dva su kompleksna broja x_{1} + iy_{1}  i  x_{2} + iy_{2} jednaka ako i samo ako je  x_{1} = x_{2}y_{1} = y_{2}.

    20 Zbir dva kompleksna broja x_{1} + iy_{1}  i  x_{2} + iy_{2} je kompleksan broj
    (x_{1} + x_{2}) + i(y_{1} + y_{2}).

    30 Proizvod dva kompleksna broja x_{1} + iy_{1}  i  x_{2} + iy_{2} je kompleksan broj
    (x_{1} \cdotx_{2} - y_{1} \cdoty_{1}) + i(x_{1} \cdoty_{2} + y_{1} \cdoty_{2}).

    Na na ovaj nacin definisanu matematicku strukturu oznacavamo simbolom C.
     
    Uobicajeno je kompleksne brojeve oznacavati jednim slovom, pa pisemo,
    na primer, z = x_{1} + iy_{1},
    a relaciju jednakosti i operacije sabiranja i mnozenja oznacavamo istim simbolima kao u skupu realnih brojeva.

    {\color{Red} Ukratko}:

    x^{2} + 4x + 7 = 0 \Rightarrow x1,2 = -2 \pm \sqrt{-3} = -2 \pm i \sqrt{3}

    \sqrt{-1} = i - imaginarna jedinica

    \pm i \sqrt{3} - imaginarni broj

    x1,2 = -2 \pm i \sqrt{3} - kompleksan broj

    z = x + iy - kompleksan broj

    Kompleksan broj z = x +iy,   x,y \in R, sastoji se od

    realnog dela x, oznaka  x = Re(z),

    imaginarnog dela y, oznaka y = Im(z)  i

    i - imaginarne jedinice.

    {\color{Red} Osnovne} {\color{Red} operacije}:

    • Dva su kompleksna broja x_{1} + iy_{1}  i  x_{2} + iy_{2}

      jednaka ako i samo ako je  x_{1} = x_{2}y_{1} = y_{2}.

    • Zbir dva kompleksna broja
      x_{1} + iy_{1}  i  x_{2} + iy_{2}

      je kompleksan broj
       
      (x_{1} + x_{2}) + i(y_{1} + y_{2}).

    • Proizvod dva kompleksna broja
      x_{1} + iy_{1}  i  x_{2} + iy_{2}

      je kompleksan broj

      (x_{1} \cdotx_{2} - y_{1} \cdoty_{1}) + i(x_{1} \cdoty_{2} + y_{1} \cdoty_{2}).

    • Deljenje kompleksnih brojeva se svodi na deljenje obicnim brojem:

       \frac{x_{1} + iy_{1}}{x_{2} + iy_{2}} = \frac{x_{1} + iy_{1}}{x_{2} + iy_{2}} \cdot \frac{x_{2} - iy_{2}}{x_{2} - iy_{2}} =

       \frac{(x_{1} + iy_{1})(x_{2} + iy_{2})}{x^{2}_{2} + y^{2}_{2}} = ...




    Definicija:

    Za kompleksan broj z = x +iy se realan broj x zove njegov realni deo,
    oznaka  x = Re(z),
    a realan broj y se zove njegov imaginarni deo,
    oznaka y = Im(z)

    Simbol i zovemo imaginarna jedinica.

    Detaljnije (klikni i pogledaj):
    [close]


    Sva svojstva operacija sabiranja i mnozenja u skupu realnih brojeva
    vaze i za sabiranje i mnozenje kompleksnih brojeva.

    Teorema:

    Sabiranje kompleksnih brojeva ima sledeca svojstva:

    10 Za svaka dva kompleksna broja z1 i z2
    vazi:

            z1 + z2 = z2 + z1

    te je operacija komutativna.

    20 Za svaka tri kompleksna broja z1, z2,z3
    vazi:

            (z1+z2)+z3 =z1 +(z2+z3);

    operacija je asocijativna.


    30 Za svaki kompleksan broj z je

    z+0=0+z=z;

    0 je neutralni element za sabiranje.

    40 Za svaki kompleksan broj z postoji takav kompleksan broj z' da je

    z+z'=z'+z=0;

    tj, svaki kompleksan broj ima svoj suprotan broj.


    Teorema:

    Mnozenje kompleksnih brojeva ima sledeca svojstva:


    10 Za svaka dva kompleksna broja z1 i z2 je

    z1 . z2 = z2 . z1;

    operacija je komutativna.


    20 Za svaka tri kompleksna broja z1, z2, z3 je

    (z1 . z2) . z3 =z1 . (z2 . z3);

    operacija je asocijativna.

    30 Za svaki kompleksan broj z je

    z . 1 = 1 . z;

    1 je neutralni element za mnozenje.

    40 Za svaki kompleksan broj z razlicit od nule postoji takav kompleksan broj z'
    da je:

             z . z' = 'z . z = 1;

    svaki kompleksan broj razlicit od 0 ima reciprocan broj.

    50 Za svaka tri kompleksna broja z1, z2, z3 je

    (z1 +z2) . z3 = z1 . z3 + z2 . z3;

    mnozenje je distributivno u odnosu na sabiranje.

    Na osnovu svojstava operacija sabiranja i mnozenja, zakljucujemo da se sa kompleksnim brojevima, njihovim zbirovima i proizvodima, moze operisati na isti nacin kao sa realnim brojevima.

    Spoiler
    [close]



       « Poslednja izmena: 18. 09. 2016. | 18:47:16 Matematika »