collapse
Skupovi: N, Z, Q, I i R (klikni za pregled sadrzaja):
[close]

Tema: Prirodni brojevi (Skup N)  (Pročitano 3021 puta)

Autor: Matematika | 15. 12. 2012. | 11:53:11
  • [applaud]0
  • [smite]0

  • Skup prirodnih brojeva, zajedno sa algebarskim operacijama karakteristicnim za njega, nastao je iz potrebe za prebrojavanjem, jos u prvim zacecima ljudske civilizacije.



    Skup prirodnih brojeva se obicno obelezava sa velikim slovom N:

    N = {1, 2, 3, ..., n}

    Algebarske operacije koje vaze u ovom skupu su operacije sabiranja i mnozenja.   



    Uzmimo proizvoljna tri prirodna broja a, b, c (a, b, c \in N).
    U skupu prirodnih brojeva, za njih ce vaziti sledece osobine:

    10   a+b \in N,  a \cdotb \in N
      (kazemo da su operacije sabiranja i mnozenja "zatvorene" u skupu N)


    20   a+(b+c) = (a+b)+c  (u skupu N vazi zakon asocijacije za sabiranje)


    30   a+b = b+a   (u skupu N vazi komutativni zakon za sabiranje)


    40   a\cdot(b\cdotc) = (a \cdotb) \cdotc      (vazi asocijativni zakon za mnozenje)


    50   a\cdotb = b\cdota    (vazi komutativni zakon za mnozenje)


    60   a\cdot(b+c) = a\cdotb + a\cdotc,  (b+c)\cdota = b\cdota + c\cdota
      (vazi distributivni zakon mnozenja prema sabiranju)


    70   1\cdota = a\cdot1 = a   (broj jedan je neutralan pri mnozenju)



    Napomenimo da nula ne spada u skup prirodnih brojeva, te ne moze biti neutralan element pri sabiranju, u ovom skupu.



    U skupu N mozemo posmatrati i relacije < "manje" i  \leqslant "manje i jednako". Ako za prirodne brojeve a i b postoji prirodan broj c takav da je a+c = b, tada kazemo da je broj a manji od broja b, i to zapisujemo sa a<b.
    Na osnovu toga imamo:

    1<2<3<...<n<n+1

    Za relaciju \leqslant u skupu N vazne su sledece osobine (stavovi od 8 do 10 ce biti dopunjeni u skupu Z):

    110   a<b ili a=b ili a>b   (Zakon trihotomije)

    120   Ako je a \leqslant b i b \leqslant a tada je a = b
      (zakon antisimetricnosti relacije \leqslant)

    130   Ako je a \leqslant b i b \leqslant c tada je a \leqslant c   (Zakon tranzitivnosti relacije \leqslant)

    140   Za svako c \in N, iz a \leqslant b sledi a+c \leqslant b+c   (saglasnost relacije \leqslant prema sabiranju)

    150   Za svako c \in N, iz a \leqslant b sledi a\cdotc \leqslant b\cdotc  (saglasnost relacije \leqslant prema mnozenju).



    Skup N sa operacijama + (sabiranje) i \cdot (mnozenje) cini jednu algebarsku strukturu koja se oznacava sa (N,+,\cdot).

    Skup N sa relacijom \leqslant cini tzv. uredjajnu (uredjenu) strukturu, u oznaci (N,\leqslant).

    Uredjena cetvorka (N,+,\cdot,\leqslant) cini jednu algebarsku uredjajnu (uredjenu) strukturu.
                         

                                     
       « Poslednja izmena: 28. 09. 2016. | 11:38:39 Matematika »