collapse
Skupovi: N, Z, Q, I i R (klikni za pregled sadrzaja):
[close]

Tema: Celi brojevi (Skup Z)  (Pročitano 8062 puta)

Autor: Matematika | 15. 12. 2012. | 13:35:26
  • [applaud]0
  • [smite]0

  •  U skupu prirodnih brojeva N, razmatrana je mogucnost resavanja jednacina tipa:

    a+x = b


    Resenje jednacine a+x = b bi bila razlika brojeva b i a, b-a.
    Problem koji se pojavljuje je cinjenica da kada je a veci broj od b njihova razlika je negativan broj koji ne pripada skupu prirodnih brojeva.



    Zbog toga smo skup prirodnih brojeva prosirili na skup celih brojeva:

    Z = {-n, ... , - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ..., +n}



    Obzirom da je skup N podskup skupa Z, skup Z nasledjuje osobine algebarske strukture (N,+,\cdot) (ovde ce umesto skupa N sada stajati skup Z):

    Uzmimo proizvoljna tri cela broja a, b, c (a, b, c \in Z).
    U skupu celih brojeva, za njih ce vaziti sledece osobine:

    10   a+b \in Z,  a\cdotb \in Z
      (kazemo da su operacije sabiranja i mnozenja "zatvorene" u skupu Z)


    20   a+(b+c) = (a+b)+c  (u skupu Z vazi zakon asocijacije za sabiranje)


    30   a+b = b+a   (u skupu Z vazi komutativni zakon za sabiranje)


    40   a\cdot(b\cdotc) = (a\cdotb)\cdotc      (vazi asocijativni zakon za mnozenje)


    50   a\cdotb = b\cdota    (vazi komutativni zakon za mnozenje)


    60   a\cdot(b+c) = a\cdotb + a\cdotc,  (b+c)\cdota = b\cdota + c\cdota
      (vazi distributivni zakon mnozenja prema sabiranju)


    70   1\cdota = a\cdot1 = a   (broj jedan je neutralan pri mnozenju)


    Sledece osobine su karakteristicne za skup Z (nisu nasledjene od skupa N):

    80   0+a = a+0 = a  (neutralnost nule pri sabiranju)

    90   a+ (-a) = (-a) + 0 = 0  (egzistencija suprotnog broja -a za broj a)


    Kao sto smo uveli relaciju \leqslant u skup N, uvescemo je i u skup Z na sledeci nacin:
    ako a-b \in N, pri cemu a,b \in Z,
    onda kazemo da je b manji od a, a ako a-b \notin N, tada kazemo da je a manji ili jednak b.
    Tako dobijamo uredjenu strukturu (Z,\leqslant) sa osobinama od 110 do 140 koje se poklapaju sa istim osobenostima u skupu N i osobinom 150 koja se razlikuje od one u skupu N:

    Za relaciju \leqslant u skupu Z vaze sledece osobine (stav 10 ce biti unet u skupu Q):

    110   a<b ili a=b ili a>b   (Zakon trihotomije)

    120   Ako je a \leqslant b i b \leqslant a tada je a = b   (zakon antisimetricnosti relacije \leqslant)

    130   Ako je a \leqslant b i b \leqslant c tada je a \leqslant c   (Zakon tranzitivnosti relacije \leqslant)

    140   Za svako c \in Z, iz a \leqslant b sledi a+c \leqslant b+c   (saglasnost relacije \leqslant prema sabiranju)

    150    Ako je 0 \leqslant a i 0 \leqslant b tada je 0 \leqslant ab  (saglasnost relacije \leqslant prema mnozenju)


       « Poslednja izmena: 28. 09. 2016. | 11:39:17 Matematika »