collapse
Skupovi: N, Z, Q, I i R (klikni za pregled sadrzaja):
[close]

Tema: Racionalni brojevi (Skup Q)  (Pročitano 10812 puta)

Autor: Matematika | 15. 12. 2012. | 15:11:32
  • [applaud]0
  • [smite]0

  • Skup prirodnih brojeva:   N = {1, 2, 3, ..., n}

    Skup celih brojeva:    Z = {-n, ... , - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ..., +n}



    Posmatrajmo jednacinu:   ax = b  gde su a i b dati celi brojevi, a \neq 0,  x nepoznat broj. Ova jednacina ce imati resenja u skupu Z u slucajevima kada je njeno resenje ceo broj, kao npr.:  5x = -10,  odakle sledi da je x = -2.

    Postavlja se pitanje, sta raditi u situaciji kada imamo jednacinu tipa:

    5x = 9   ili neku slicnu, gde resenje nije u skupu celih brojeva?

    Tada skup celih brojeva prosirujemo u skup racionalnih brojeva, koji (najcesce) oznacavamo sa Q:

    Q = {b/a | b \in Z, a \in Z\{0}}.

    Znaci, a pripada skupu celih brojeva, sa izuzetkom nule (jer ne mozemo deliti broj nulom), dok b \in Z.



    Obzirom da je skup prirodnih brojeva N podskup skupa celih brojeva Z, skup Z nasledjuje osobine algebarske strukture (N,+, \cdot) i produzuje ove operacije na nacin opisan u temi: Celi brojevi (Skup Z).

    Na isti nacin, skup Q nasledjuje osobine algebarske strukture (Z,+, \cdot) i produzuje ih:

    Nasledjene osobenosti (klikni i pogledaj):
    [close]

    Osobenosti karakteristicne samo za algebarsku strukturu (Q,+, \cdot):

    Jednacine  a+x = b  (a, b \in Q)  i   ax = b  (a, b \in Q, a \neq 0) imaju jedinstvena resenja.

    Posebno, za svako a \neq 0, jednacina:  ax = 1 ima jedinstveno resenje 1/a.

    Ovaj broj se naziva recipročan broj broja a i oznacava se i sa a-1.

    Dakle, struktura (Q,+, \cdot), pored nabrojanih (nasledjenih osobina) ima jos jednu osobinu:

    100 za svako a \in Q\{0} postoji jedinstven broj a-1, takav da je:

    a \cdot a-1 = a-1 \cdot a = 1

    Uredjena struktura struktura (Q, \leqslant) nasledjuje osobine strukture
    (Z, \leqslant):

    Nasledjene osobenosti (klikni i pogledaj):
    [close]

    Uredjen skup Q ima jos jednu znacajnu osobinu, koju nazivamo gustina racionalnih brojeva, koju ne poseduju ni prirodni ni celi brojevi:

    Teorema 3.   Za bilo koja dva racionalna broja a i b, takva da je a<b, postoji racionalan broj c = (a+b)/2 (aritmeticka sredina ovih brojeva), za koji vazi da je a<c<b.



    Napomenimo da se brojevi sa konacnim brojem decimala i brojevi kod kojih se ponavlja ista sekvenca decimala mogu predstaviti u obliku razlomka (kao racionalni brojevi), dok se to ne moze sa brojevima kod kojih nema ponavljanja jedne decimale ili grupe decimala, pa izmedju ostalog, imamo:

    Teorema 4.   Ne postoji racionalan broj x koji zadovoljava jednacinu  x2 = 2

    Ovo prakticno znaci da se koren iz 2 (koji je resenje ove jednacine) ne moze predstaviti u obliku razlomka dva cela broja.

    Dalje prosirenje skupa svih do sada definisanih brojeva vrsimo pomocu skupa Iracionalnih brojeva.



    Napomenimo i da skup Iracionalnih brojeva nije prosirenje skupa racionalnih brojeva, vec odvojen skup:

    N \subset Z \subset Q

    Skup realnih brojeva R:  R = Q \cup I


       « Poslednja izmena: 17. 12. 2012. | 10:14:42 Matematika »