collapse
Racionalni algebarski izrazi i polinomi (klikni za pregled sadrzaja):
[close]

Tema: Polinomi jedne promenljive  (Pročitano 3920 puta)

Autor: Matematika | 20. 12. 2012. | 11:47:00
  • [applaud]0
  • [smite]0

  • Polinome jedne promenljive uvek mozemo svesti na kanonski oblik:

    P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0


    x je promenljiva;  an, an-1, a1, a0 su date konstante (realni brojevi).

    Ako nam je an \neq 0 tada kazemo da je polinom P(x) n-tog stepena, a koeficijent an zovemo najstarijim koeficijentom polinoma P(x). Koeficijent a0 nazivamo slobodnim clanom.

    Polinomi nultog stepena su tada konstante razlicite od nule P(x) = a0, a0 \neq 0.

    Koeficijent a0 datog polinoma jednak je vrednosti P(0) polinoma P u tacki 0.

    Polinom P(x) = 0 nazivamo nulti polinom i njemu ne pripisujemo odredjeni stepen.

    Svaki polinom definise jednu funkciju koja je definisana na skupu realnih brojeva i cije su vrednosti ponovo realni brojevi (funkcija P vrsi preslikavanje iz skupa R u skup R).


    Za jednakost polinoma imamo dve definicije:

    Definicija 1.  Dva polinoma P(x) i Q(x) jednaka su ako imaju identicne kanonske oblike, tj. ako imaju jednake stepene i sve odgovarajuce koeficijente jednake medju sobom:

    P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0,

    Q(x) = bnxn + bn-1xn-1 + ... + b1x + b0

    i vazi: an = bn, ..., a1 = b1, a0 = b0.


    Definicija 2.  Polinomi P i Q su jednaki ako su jednake odgovarajuce funkcije, tj. ako su za svako x \in R vrednosti P(x) i Q(x) medjusobno jednake.

    Ove su dve definicije ekvivalentne.

    Takodje vazi: Ako su dva polinoma jednaka kao funkcije (vazi P(x) = Q(x), za svako x \in R) tada su oni identicni, tj. imaju sve koeficijente jednake.


    Teorema 1.   Neka us P(x) i Q(x) dva polinoma, razlicita od nultog. Tada je stepen polinoma P(x)Q(x) jednak zbiru stepena polinoma P(x) i Q(x), a stepen polinoma P(x)+Q(x) i P(x)-Q(x) nije veci od veceg stepena polinoma P(x) i Q(x).


    Definicija 3.  Neka su A(x) i B(x) dva polinoma i B(x) nije nulti polinom.
    Ako postoji takav polinom Q(x) da vazi A(x) = B(x)Q(x), kazemo da je polinom A(x) deljiv polinomom B(x), ili da je B(x) delilac (cinilac) polinoma A(x), a polinom Q(x) zovemo kolicnik pri deljenju A(x) sa B(x).


    Teorema 2.  Neka su A(x) i B(x) proizvoljni polinomi i B(x) nije nulti polinom.
    Tada postoje i jedinstveno su odredjeni polinomi Q(x) i R(x), takvi da vazi:

    A(x) = B(x)Q(x) + R(x)

    pri cemu je polinom R(x) ili nulti ili ima manji stepen od polinoma B(x).


    Definicija 4.  Polinom Q(x) iz prethodne teoreme nazivamo kolicnikom, a polinom R(x) ostatkom pri deljenju polinoma A(x) polinomom B(x).


    Teorema 3.  Neka je P(x) polinom i a \in R. Ostatak pri deljenju polinoma P(x) polinomom (x-a) jednak je P(a), tj. jednak je vrednosti polinoma P(x) u tacki x = a.

    Posledica teoreme 3: Polinom P(x) deljiv je linearnim binomom x-a, tj. moze se pisati kao P(x) = (x-a)Q(x) ako i samo ako je P(a) = 0.



    Svaki polinom jedne realne promenljive stepena veceg od nule, sa proizvoljnim realnim koeficijentima, moze se rastaviti na proizvod izvesnog broja linearnih cinilaca (od kojih neki mogu biti i jednaki medjusobno) i izvesnog broja (nepotpunih) kvadratnih trinoma (od kojih takodje neki mogu biti medjusobno jednaki).



       « Poslednja izmena: 29. 12. 2012. | 08:07:04 Matematika »