collapse
Linearna funkcija (klikni za pregled sadrzaja):
[close]

Tema: Ekvivalentnost jednacina i Resavanje jednacina sa jednom nepoznatom koje se svode na linearne  (Pročitano 5548 puta)


Definicija 1.  Neka je R1 skup svih resenja jednacine M1(x) = D1(x) i R2 skup svih resenja jednacine M2(x) = D2(x).

Ako su sva resenja jednacine M1(x) = D1(x) takodje i resenja jednacine M2(x) = D2(x), tj. ako je R1 \subset R2, onda kazemo da je jednacina M2(x) = D2(x) posledica jednacine M1(x) = D1(x).

Ako je R1 = R2 onda kazemo da su jednacine M1(x) = D1(x) i M2(x) = D2(x) ekvivalentne.

Primeri:
[close]

Teorema 1.  Ako su M(x), D(x), A(x) algebarski racionalni izrazi po x, definisani na istom skupu S \subset R, tada vaze tvrdjenja:
  • Jednacine M(x) = D(x)  i  M(x) + A(x) = D(x) + M(x)  ekvivalentne su na S

  • Jednacina M(x)A(x) = D(x)A(x) posledica je jednacine M(x) = D(x)

  • Ako je za svako x \in S, A(x) \neq 0, tada su jednacine:

    M(x) = D(x)  i  M(x)A(x) = D(x)A(x)  ekvivalentne na S.

Primer:
[close]

Teorema 2.   Ako su M(x), D(x), A(x) algebarski racionalni izrazi po x, definisani na istom skupu S \subset R, tada je tacna implikacija:

M(x) = A(x)  \Rightarrow  (M(x) = D(x)  \Leftrightarrow A(x) = D(x)). (kraj teoreme)

Ova teorema nam kaze da izraz na jednoj strani mozemo zameniti njemu ekvivalentnim izrazom.



Teorema 3.   Za svaki linearni izraz M(x) po x
postoje jedinstveni realni brojevi a i b takvi da je:  M(x) = ax + b. (kraj teoreme)

Oblik ax + b zovemo sredjeni ili kanonicni oblik linearnog izraza M(x).

Svak linearna jednacina M(x) = D(x) ekvivalentna je sa jednacinom oblika ax = b, te ovu vrstu jednacina resavamo tako sto ih svedemo na oblik ax = b, a zatim pronadjemo resenje.



Resavanje jednacina sa jednom nepoznatom koje se svode na linearne

U skladu sa teoremama 1 i 2 mozemo opisati postupak za resavanje jednacina oblika M(x) = D(x).

Primer transformacija koje mozemo izvrsiti:

1.) Ako jednacina sadrzi razlomke, mozemo je pomnoziti (prema teoremi 1, tacka 3.) sa najmanjim zajednickim sadrzaocem svih imenilaca u jednacini (to nam je A(x) u teoremi) i osloboditi se razlomka.
Kako su ovi razlomci definisani na skupu S, to je i A(x) \neq 0 definisano na skupu S.

2.) Dalje, oslanjajuci se na date teoreme, jednacine sa leve i desne strane oslobadjamo zagrada (primenom zakona distribucije, asocijacije, komutacije, itd.)

3.) Ako smo dobili linearnu jednacinu (jednacina oblika ax = b), resavamo je na uobicajen nacin.

Primer:
[close]
   « Poslednja izmena: 23. 12. 2012. | 17:36:08 Matematika »