collapse
Kvadratna jednacina i kvadratna funkcija (klikni za pregled sadrzaja):
[close]

Tema: Kvadratna jednacina sa jednom nepoznatom (resavanje i priroda resenja)  (Pročitano 10782 puta)

  • [applaud]0
  • [smite]0

  • Jednacina oblika:  ax2 + bx + c = 0,

    gde je x nepoznata,  a, b i c realni brojevi, pri cemu mora biti a ≠ 0 (inace ne bi bila kvadratna), naziva se kvadratna jednačina po x sa koeficijentima a, b i c .

    Kvadratna jednačina je potpuna ako su koeficijenti b ≠ 0 i c ≠ 0.

    Kvadratna jednacina je nepotpuna ako je b = 0 ili c = 0 ili b = c = 0.


    Nepotpune kvadratne jednacine - karakteristicni primeri:
    • ax2 = 0

      Kako nam je uslov za kvadratnu jednacinu da koeficijent uz x2 bude razlicit od nule, sto je ovde slucaj sa koeficijentom a, jedino resenje koje nam u tom slucaju preostaje je da x bude jednako nuli, te je:

      ax2 = 0  \Leftrightarrow  x = 0.

    • ax2 + c = 0,  c \neq 0.

      Zbog uslova a \neq 0, ova je jednacina ekvivalentna sa jednacinom: 

      x2 = -c/a

      Ako su a i c istog znaka, onda je -c/a negativan realan broj i mozemo pisati:

      -c/a = (i \cdot \sqrt{c/a})2, te sledi:

      ax2 + c = 0 \Leftrightarrow (x = i \cdot \sqrt{c/a}  ili  x = -i \cdot \sqrt{c/a})  kada su a i c istog znaka;

      Ako su a i c suprotnih znakova, tada se minus ispred -c/a gubi, te imamo:

      ax2 + c = 0 \Leftrightarrow (x = \sqrt{c/a}  ili  x = -\sqrt{c/a}


    • ax2 + bx = 0,  b \neq
      \Leftrightarrow  x(ax + b) = 0 
      \Leftrightarrow  x = 0 ili x = -b/a.



    Potpuna kvadratna jednacina:

    Resenje kvadratne jednacine ax2 + bx + c = 0, u opstem slucaju:


    Potkorenu vrednost zovemo diskriminanta i obelezavamo je sa D  (D = b2 - 4ac).

    Napomena: Cesta greska pri resavanju stepenih jednacina (i nejednacina) je situacija kada postojeci izraz podelimo drugim, pri cemu se izgubi neko od resenja.

    Npr: x2 - 1 = x - 1 / :(x - 1)
            x + 1 = 1
            x1 = 0

    Ovde smo izgubili jedno od resenja ( x2 = 1).

    Stepene jednacine moraju imati onoliko resenja koliki im je najveci stepen (s' tim sto neka od tih resenja mogu biti i medjusobno jednaka - pogledaj Primer 1 na kraju stranice).


    Priroda resenja kvadratne jednacine:

    Kao sto smo vec napomenuli izraz pod drugim korenom formule opsteg resenja kvadratne jednacine ax2 + bx + c = 0 zove se diskriminanta (D = b2 - 4ac) kvadratne jednačine.   

    Ako je:
    • D > 0, tada kvadratna jednacina ima dva realna razlicita resenja (korena) x1 i x2;

    • D = 0, tada kvadratna jednacina ima dva realna jednaka resenja (korena) x1 = x2;

    • D < 0, tada kvadratna jednacina ima dva konjugovano kompleksna razlicita resenja (korena) x1 i x2, oblika: a \pm b\cdoti, gde je i imaginarna jedinica i =  \sqrt{-1}.

    Primer 1:  Resiti kvadratnu jednacinu:



    Vidimo da ova jednacina ima dva resenja koja su medjusobno jednaka.

    Primer 2: Resiti kvadratnu jednacinu:




       « Poslednja izmena: 19. 09. 2016. | 16:02:28 Matematika »